Функции и Графики - сайт по математике и не только!!! СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Всё о Математических функциях и их графиках...

ФУНКЦИИ
и ГРАФИКИ

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
ЛИНЕЙНАЯ
КВАДРАТИЧНАЯ
СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ
ФУНКЦИИ y =
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ
ГРАФИКИ
ТЕСТЫ
КОНТАКТЫ
КАРТА САЙТА
НА ГЛАВНУЮ

NEW !!!

ПРОГРАММИРОВАНИЕ
TURBO PASCAL
C++
ПРОВЕРЬ СВОИ ЗНАНИЯ!
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

Функция называется четной, если:
  • область определения функции симметрична относительно нуля
  • для любого x из области определения
    f(-x) = f(x)

Примеры:
y = x 2n, n Z;
y = cos x . 		Функция называется нечетной, если:
  • область определения функции симметрична относительно нуля
  • для любого x из области определения
    f(-x) = -f(x)


    • Примеры:
    y = x 2n + 1, n Z;
    y = sin x .

Многие функции могут быть НИ ЧЕТНЫМИ, НИ НЕЧЕТНЫМИ


Примеры: y = e x, y = ln x, y = x - 2, y = (x + 1)2

ПЕРИОДИЧНОСТЬ

Функция f(x) называется периодической с периодом T > 0 , если для любого x из области определения
значения x + T и x - T также принадлежат области определения и f(x) = f(x + T) = f(x - T). При этом любое
число вида Tn, где n N, также является периодом этой функции.


График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов. Чтобы построить график периодической функции нужно построить фрагмент графика на любом отрезке, длинной T (например [0;T]), а затем произвести последовательные параллельные переносы фрагмента графика
на T, 2T, 3T и т.д. вдоль оси x (вправо и влево)

НУЛИ ФУНКЦИИ

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента x0, при котором функция обращается в нуль:
f(x0) = 0.
В нуле функции её график имеет общую точку с осью x.



x1,x2,x3 - нули функции y = f(x)

МОНОТОННОСТЬ (ВОЗРАСТАНИЕ, УБЫВАНИЕ)
Функция y = f(x) называется возрастающей
на интервале (a; b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1 < x2, справедливо неравенство f(x1) < f(x2).
Функция y = f(x) называется убывающей на интервале (a; b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1 < x2, справедливо неравенство f(x1) > f(x2).

ЭКСТРЕМУМЫ (МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ)

Внутренняя точка xmax области определения называется точкой максимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство: f(x1) < f(xmax) называется максимумом этой функции.

xmax - точка максимума
ymax - максимум 		Внутренняя точка xmin области определения называется точкой минимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство: f(x1) > f(xmin) называется максимумом этой функции.

xmax - точка минимума
ymax - минимума

АСИМПТОТЫ

Если график функции y = f(x) имеет бесконечную ветвь (ветви), у графика могут быть асимптоты. Асимптотой графика называется прямая, к которой неограниченно приближается точка графика при удалении этой точки по бесконечной ветви.

Вертикальная асимптота x = a Горизонтальная асимптота y = bНаклонная асимптота y = kx + b

Прямая x = a является вертикальной асимптотой, если хотя бы один из пределов
(предел справа) или (предел слева) равен бесконечности.

Прямая y = b является горизонтальной асимптотой, если существуют конечные пределы .

Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой, если существуют конечные пределы либо при x -> , либо при x -> - .

ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ

Понятие обратной функции применимо к функциям, обладающим следующим свойством: каждому значению y из области определения соответствует единственное значение x из области определения этой функции. Для многих функций это свойство выполняется лишь на части области определения, в частности (для функции y = x2 таким промежутком является, например, луч [0; ), для функции y =sin x - отрезок [- /2;/2]).

Функция g называется обратной для функции f, если каждому y из области значений функции f функция g ставит в соответствие такое x из области определения функции f, что y = f(x). Таким образом, если y = f(x), то x = g(y).

Функции f и g являются взаимно обратными.

НАХОЖДЕНИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ФУНКЦИИ, ОБРАТНОЙ ДАННОЙ

  • Пользуясь формулой y = f(x), следует выразить x через y, а в полученной формуле x = g(y)
    заменить x на y, а y на x.
Пример:
Найти формулу для функции, обратной функции: .
Выразить x через y: x = 2y - 2.
Заменить x на y: y = 2x - 2.
Результат: функция y = 2x - 2 является обратной для функции .

Используются технологии uCoz