|
|
|
|
|
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
Функция называется четной, если:
- область определения функции симметрична относительно нуля
- для любого x из области определения
f(-x) = f(x)
Примеры:
y = x 2n, n  Z;
y = cos x .
|
Функция называется нечетной, если:
- область определения функции симметрична относительно нуля
- для любого x из области определения
f(-x) = -f(x)
Примеры:
y = x 2n + 1, n Z;
y = sin x .
|
Многие функции могут быть НИ ЧЕТНЫМИ, НИ НЕЧЕТНЫМИ
Примеры:
y = e x, y = ln x, y = x - 2, y = (x + 1)2
|
ПЕРИОДИЧНОСТЬ
Функция f(x) называется периодической с периодом T > 0 , если для любого x из области определения
значения x + T и x - T также принадлежат области определения и f(x) = f(x + T) = f(x - T).
При этом любое
число вида Tn, где n N, также является периодом этой функции.
График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов. Чтобы построить график периодической функции нужно построить фрагмент графика на любом отрезке, длинной T (например [0;T]), а затем произвести последовательные параллельные переносы фрагмента графика
на T, 2T, 3T и т.д. вдоль оси x (вправо и влево)
НУЛИ ФУНКЦИИ
Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента x0, при котором функция обращается в нуль:
f(x0) = 0.
В нуле функции её график имеет общую точку с осью x.
x1,x2,x3 - нули функции y = f(x)
МОНОТОННОСТЬ (ВОЗРАСТАНИЕ, УБЫВАНИЕ)
Функция y = f(x) называется возрастающей
на интервале (a; b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1 < x2, справедливо неравенство f(x1) < f(x2).
|
Функция y = f(x) называется убывающей на интервале (a; b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1 < x2, справедливо неравенство f(x1) > f(x2).
|
ЭКСТРЕМУМЫ (МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ)
Внутренняя точка xmax области определения называется точкой максимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство: f(x1) < f(xmax) называется максимумом этой функции.
xmax - точка максимума
ymax - максимум
|
Внутренняя точка xmin области определения называется точкой минимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство: f(x1) > f(xmin) называется максимумом этой функции.
xmax - точка минимума
ymax - минимума
|
|
АСИМПТОТЫ
Если график функции y = f(x) имеет бесконечную ветвь (ветви), у графика могут быть асимптоты.
Асимптотой графика называется прямая, к которой неограниченно приближается точка графика при удалении этой точки по бесконечной ветви.
 |  |  |
| Вертикальная асимптота x = a | Горизонтальная асимптота y = b | Наклонная асимптота y = kx + b |
Прямая x = a является вертикальной асимптотой, если хотя бы один из пределов
 (предел справа) или  (предел слева) равен бесконечности.
Прямая y = b является горизонтальной асимптотой, если существуют конечные пределы  .
Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой,
если существуют конечные пределы 
либо при x ->  , либо при x -> - .
ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ
Понятие обратной функции применимо к функциям, обладающим следующим свойством: каждому значению y из области определения соответствует единственное значение x из области определения этой функции. Для многих функций это свойство выполняется лишь на части области определения, в частности (для функции y = x2 таким промежутком является, например, луч [0; ), для функции y =sin x - отрезок [-  /2;/2]).
Функция g называется обратной для функции f, если каждому y из области значений функции f функция g ставит в соответствие такое x из области определения функции f, что y = f(x). Таким образом, если y = f(x), то x = g(y).
Функции f и g являются взаимно обратными.
- Область определения функции f является областью значений функции g, а область значений
функции f является областью определения функции g.
- Графики взаимно обратных функций симметричны друг другу относительно прямой y = x
(построение графика обратной функции)
НАХОЖДЕНИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ФУНКЦИИ, ОБРАТНОЙ ДАННОЙ
-
Пользуясь формулой y = f(x), следует выразить x через y, а в полученной формуле x = g(y)
заменить x на y, а y на x.
Пример:
Найти формулу для функции, обратной функции:  .
Выразить x через y: x = 2y - 2.
Заменить x на y: y = 2x - 2.
Результат: функция y = 2x - 2 является обратной для функции .
|
 |
| |
