y = ax² + bx + c, где a 0.
График квадратичной функции - парабола.

Свойства функции и вид её графика определяются, в основном, значениями коэффициента a
и дискриминанта D = b² - 4ac.

a > 0, D > 0	a > 0, D = 0	a > 0, D < 0
a < 0, D > 0	a < 0, D = 0	a < 0, D < 0

РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ

1. ВЫДЕЛЕНИЕ ПОЛНОГО КВАДРАТА:
   
2. РАЗЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНЫЕ МНОЖИТЕЛИ
   при D > 0 y = ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)
   при D = 0 y = ax² + bx + c = a(x - x₁)²
   при D < 0: разложить на множители нельзя

СВОЙСТВА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ

• ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ: R
  


• ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ:
  при a > 0 [-D/(4a);)
  при a < 0 (-;-D/(4a)]
  
  
• ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ:
  при b = 0, то функция четная
  при b 0, то функция ни четная, ни нечетная
  
  
• НУЛИ:
  при D > 0 два нуля:
  
  при D = 0 один нуль: x₁ = -b/(2a)
  при D < 0 нулей нет
  
  
• ПРОМЕЖУТКИ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА:
  
  
  если a > 0, D = 0, то y > 0 при x (-;x₁)U(x₁;)
  
  если a > 0, D < 0, то y > 0 при x R
  
  
  
  если a < 0, D = 0, то y < 0 при x (-;x₁)U(x₁;)
  
  если a < 0, D < 0, то y < 0 при x R
  
  
  
• ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ:
  
  
  
  
  
  
• ЭКСТРЕМУМЫ:
  
  при a > 0 x_min = -b/(2a) y_min = -D/(4a)
  
  при a < 0 x_max = -b/(2a) y_max = -D/(4a)
  
  

НАПРАВЛЕНИЕ ВЕТВЕЙ, ХАРАКТЕРНЫЕ ТОЧКИ И ОСЬ СИММЕТРИИ ПАРАБОЛЫ,
являющейся графиком функции у = ax² + bx + c

• Направление ветвей параболы:
  
  при a > 0 ветви направлены вверх
  
  при a < 0 ветви направлены вниз
  
  
• Координаты вершины параболы: (-b/2a; -D/4a)
  
  
• Ось симметрии параболы - прямая
  
  
• Точки пересечения (касания) графика с осью х:
  
  D > 0: (точки пересечения)
  
  D = 0: x₁ = - b/(2a) (точка касания)
  
  D < 0: общих точек у графика с осью х нет




• Точка пересечения графика с осью у:(0,c), симметричная ей точка относительно параболы (-b/a;c)

Для построения графика квадратичной функции можно использовать некоторые из указанных характеристик. Например, если уравнение
ax² + bx + c = 0 имеет два корня, удобно использовать координаты вершины параболы и координаты двух точек пересечения параболы с осью х.

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ ПО НАПРАВЛЕНИЮ ВЕТВЕЙ, ХАРАКТЕРНЫМ ТОЧКАМ И ОСИ СИММЕТРИИ ПАРАБОЛЫ
Примеры:

y = x2 - 4x + 3

Ветви направлены вверх, т.к. a = 1 > 0 Координаты вершины (2;-1), т.к. Ось симметрии параболы: Координаты точек пересечения с осью х: (x1; 0) = (1; 0) и (x2; 0) = (3; 0) Координаты точки пересечения с осью у: (0; c) = (0; 3) симметричная ей точка относительно оси параболы:

y= -x2 - 6x - 9

Ветви направлены вниз, т.к. a = -1 < 0 Координаты вершины (-3;0), т.к. Ось симметрии параболы: Координаты точки касания с осью х: (x1; 0) = (-3; 0). Координаты точки пересечения с осью у: (0; c) = (0;-9) симметричная ей точка относительно оси параболы:

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ
С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
y = x²
С помощью выделения полного квадрата любую квадратичную функцию можно представить в виде:
Это свойство позволяет построить график квадратичной функции с помощью элементарных преобразований графика функции y = x².
Построение графика y = a(x - m)² + n можно произвести в три этапа:

	1.Растяжение графика y = x2 вдоль оси у в а раз (при a < 1 - это сжатие в 1/a раз). Если a< 0, произвести ещё и зеркальное отражение графика относительно оси х (ветви параболы будут направлены вниз). Результат преобразования: график функции y = ax2
	2. Произвести параллельный перенос графика функции y = ax2 вдоль оси x на m (вправо при m > 0 и влево при m < 0). Результат преобразования: график функции y = a(x-m)2
	3. Параллельный перенос графика функции y = a(x - m)2 вдоль оси y на n (вверх при n > 0 и вниз при n < 0)

Результат преобразования: график функции y = a(x - m)²+n

Примеры:

1. Растяжение графика функции y = x 2 вдоль оси y в 2 раза	2. Параллельный перенос графика функции y = 2x 2 вдоль оси x на 3 вправо	Параллельный перенос графика функции y = 2(x - 3)2 вдоль оси y на 1 вверх.

1. Сжатие графика функции y = x 2 вдоль оси y в 2 раза и преобразование симметрии относительно оси x	2. Параллельный перенос графика функции y = - x 2 вдоль оси x на 2 влево	Параллельный перенос графика функции y = - (x + 2)2/ 2